A pénzfeldobás tényleges esélyei
Sokak szerint nagyjából olyasmi, mint piros-feketére fogadni Rulett-ben. Nem egészen 50-50% az esélye. Azt kérdezed miért nem? Mert ott a zöld 0, vagy akár a 00 szintén zöldben. Ezek mindig a Ház javára súlyozzák az esélyeket.
A lehetséges 18-18 piros-fekete helyett ilyenkor 18-18-1 vagy 18-18-2, ami alapján a nyerési esélyeid sosem lesznek magasabbak, mint 48.648648…%.
“De egy érmének két oldala van, hogy kerül ez egyáltalán szóba? Az a helyzet ugyanis a Rulett-tel szemben teljesen egyértelmű.” Nos, az érméknek – legalábbis azoknak, amelyekkel én találkoztam – van vastagsága, ez pedig egy harmadik “oldalt”, élt képez.
Bár az eset, hogy egy érme az élére essen kevésbé valószínű, minthogy valakit cápa harap meg az ISS fedélzetén, de mégis létezhet.
Épp ezért egy ráérős pillanatomban elővettem a jegyzetfüzetemet, és elkezdtem rajzolgatni/számolgatni. “Hogyan határozzuk meg egy érme élére esésének esélyeit?”
A példákban fehasznált betű szerinti hivatkozások a fizikában általánosan elterjedt jelöléseket alkalmazzák, mint: átmérő (d), magasság/vastagság (h). Az érmének köznyelv szerinti értelmezésben vastagsága van, de ha úgy tekintünk rá, mint egy alacsony hengerre, akkor a magasság fogalma is megállja a helyét.
Kerület metódus
Ebben az eljárásban feltételezzük, hogy az érme a lehetséges három tengely közül csak az egyik körül forog, mégpedig oly módon, hogy a fej és írás folyamatosan váltják egymást fent illetve lent.
A forgásirányban lemérve az érme kerületét, esélyt kaphatunk számításokat végezni a mért adatokkal, amikből eredményként kijön, hogy a feldobás három lehetséges kimenetelének egymáshoz viszonyított arányai:
Fej - Írás - Éle : d - d - 2h
Igaz, hogy az éle két különböző helyen érkezhet a talajra – egyszer a Fej és az Írás, majd az Írás és a Fej között, ha a forgásirányt nézzük -, de mindkettő ugyanazt az “Éle” eredményt adja.
Lehetséges érkezési vektorok metódusa
Egy alternatív számítási mód szerint azt vizsgáljuk, hogy az érme tömegközéppontjából kiinduló irányvektorok közül melyik mutat a gravitáció szerinti “lefelé” irányba, amikor az érme leérkezik.
Feltételezzük, hogy az érme gyártása során a Fej és Írás oldali képeket alkotó domborulatok egyike sem magasabb, mint az érme kerületén elhelyezett perem, ezért a Fej-re illetve Írás-ra való érkezés gravitáció felé mutató vektora független az érme olvasási irányának állásától.
Ezzel szemben az Él-re való érkezést befolyásolja a választott érme élkialakítása, mivel – a mai magyar hivatalos érmék között – találhatunk sima (főként apró homorú jelzéseket tartalmazó) és recézett (apró fogaskerék-fogakra emlékeztető bordákkal ellátott) darabokat is.
Ezek közül a második egyszerűbb esetet eredményez, mivel ezek az érmék nem képesek egy “fog” tetején megállni, onnan legalább a legközelebbi “fogköz” felé elgurulnak, és ott vesznek fel stabil állapotot.
Az első esetben a sima élű érméknél azonban nincs ilyen korlát, elméletileg – és biztos kézzel elhelyezve gyakorlatilag is – képesek megállni az érme élének bármelyik pontján.
Az imént vázolt feltevések és elméletek szerint a vektorszámításos módszert tovább kell csoportosítani, hogy pontos eredményt kapjunk.
Recézett élű érmék
Fej - Írás - Éle : 1 - 1 - 'Recék száma'
Sima élű érmék
Fej - írás - Éle : 1 - 1 - 'végtelen'
Stabilitási ellenőrzés
Az előbbi két módszer csak azt adja meg, hogy mekkora az esélye az érme egy bizonyos helyzetben való leérkezésének, viszont a világ ennél bonyolultabb. Azt is meg kell vizsgálnunk, hogy mennyire stabil ez a helyzet, mennyire nehéz – adott esetben könnyű – a leérkezett érmét a felvett helyzetéből kimozdítani.
Ehhez feltételezünk egy forgáspontot (A), ami körül a leérkezett érmét ki szeretnénk billenteni a pozíciójából, valamint egy ezzel átellenes pontot (B), ahol az elméletben meghatározott erőhatást kifejtjük.
A szükséges erőhatás mértékéhez ismernünk kell az érme három tulajdonságát: átmérő, vastagság és a tömeg (m).
Az álló és a fekvő érme nyugalomból való kibillentéséhez egyaránt a forgatónyomatékok számítását vettem alapul. Az ezt leíró egyenletet leegyszerűsítve ugyanis össze lehet hasonlítani a billentési erők arányát kizárólag az átmérő és a magasság használatával.
Álló érme billentési egyenlete
Fálló * d = (h / 2) * m
Fekvő érme billentési egyenlete
Ffekvő * h = (d / 2) * m
Egyszerűsítés
Az két állapotban felhasznált erők aránya adja meg a stabil állapotban maradás egymáshoz képesti valószínűségét, így az egyenleteket átalakítottam Fx-re, és egymás mellé írás után egyszerűsítettem:
Fálló = ((h / 2) * m) / d Ffekvő = ((d / 2) * m) / h ((h / 2) * m) / d ⇔ ((d / 2) * m) / h
Az hamar látszik, hogy a tömeg mindkét esetben egyenlő, ezért kiesik. A számlálókból a törteket szintén le tudjuk egyszerűsíteni reciprok-szorzással:
h / 2d ⇔ d / 2h
Valamint az egyenlet szépsége miatt eldobjuk a kettest is. A végeredményből pedig azt olvashatjuk ki, hogy az állóval szemben hányszor nagyobb erőhatás szükséges a fekvő helyzetben lévő érmét a stabil helyzetéből kimozdítani.
h / d ⇔ d / h
A kiolvasása kis átcsoportisítás után:
Ffekvő = Fálló * (d2 / h2)
További faktorok
A tényleges számítások azonban itt nem érnek véget, mivel a leérkezés pillanatában nem szűnnek meg azonnal és véglegesen az érmére ható erők – többek között azért, mert a gravitációnak van egy bizonyos csökönyös ragaszkodása a Föld közelében található testekkel szemben -, így ezeket újabb elemekként emelhetjük be az egyenleteinkbe.
A feldobáshoz felhasznált érme tömege, valamint a feldobáskor adott, pörgést kiváltó erők eredményeként fellépő tehetetlenséget/lendületet ismerve hamar meg tudjuk válaszolni, hogy képes-e az érménk leérkezés után megállni a lábán, vagy másik – stabilabbnak tűnő – állapotba szédül.
Ugyancsak a tömeg és a feldobás magassága, valamint az érme és a céltárgy (asztal, kéz, szőnyeg, parketta, stb…) rugalmassági együtthatója, a beérkezési szöggel együtt újabb – akár minden részletében megváltoztatott – kinematikai rendszerbe kényszeríti a magatehetetlen érmét, amely ezt követően gumimacipattogásra kárhoztatva próbál elcsípni egy stabilnak ítélt állapotot.
Ezeknek a kiszámítása viszont már házi feladat …
Webfejlesztő tudásbázis, első rész: DNS Webfejlesztő tudásbázis, második rész: Kliens-szerver kommunikáció
Comments are currently closed.